Gleichungssystem: Textaufgabe mit linearen Gleichungen

Aufgabe: Computerausrüstung im Informatikraum

In einem Informatikraum einer Hauptschule wurde jeder Arbeitsplatz mit einem Computer, einem Drucker und einem Bildschirm ausgestattet. Ein Computer kostet 6 mal so viel wie ein Bildschirm. Der Preis für einen Drucker belief sich auf \(\frac { 1 }{ 4 } \) des Preises, der für Computer und Bildschirm, insgesamt berechnet wurde. 16 Arbeitsplätze kosteten insgesamt 14560 Euro. Berechne die Preise der Einzelgeräte mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung:

 

Frage:

Wie teuer sind die einzelnen Geräte?

 

Rechnung:

1.) Zuerst bestimmen wir Variablen für die einzelnen Kosten der Geräte:

b: Bildschirm

c: Computer

d: Drucker

 

2.) Aufstellen der Gleichungen:

„Ein Computer kostet 6 mal so viel wie ein Bildschirm.“

Hier lässt sich herausschreiben, dass ich anstatt eines Computers auch 6 Bildschirme kaufen könnte.

Also: \(c=6*b\)

 

„Der Preis für einen Drucker belief sich auf \(\frac { 1 }{ 4 } \) des Preises, der für Computer und Bildschirm, insgesamt berechnet wurde.“

Das heißt, ich hätte mir anstatt eines Computers und eines Bildschirmes auch 4 Drucker kaufen können.

Also: \(4*d=c+b\)

Da wir aber nur den Preis für einen Drucker wissen möchten, teilen wir die Gleichung mit 4:

\(d=\frac { 1 }{ 4 }(c+b) \)

 

„16 Arbeitsplätze kosteten insgesamt 14560 Euro:“

Demzufolge kosten 16 mal die Ausstattungen für einen Arbeitsplatz 14560 Euro.

Also: \(16*(b+c+d)=14560\)

 

3.) Löse das Gleichungssystem:

Nun ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

1.) \(c=6*b\)

2.) \(d=\frac { 1 }{ 4 }(c+b) \)

3.) \(16*(b+c+d)=14560\)

 

Nun kann man verschiedene Lösungsverfahren, wie das Einsetzungsverfahren, das Additions- und Subtrationsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Wir verwenden das Einsetzungsverfahren.

 

Zuerst setzen wir Gleichung 1.) in Gleichung 2.) ein und lösen nach b auf:

4.) \(d=\frac { 1 }{ 4 }(6*b+b) \)

4.) \(d=\frac {7b }{ 4 } \)

 

Jetzt setzen wir Gleichung 4.) und Gleichung 1.) in Gleichung 3.) ein:

\(16*(b+6*b+\frac {7b }{ 4 } )=14560\)

\(7b+\frac {7b }{ 4 } =910\)

\(\frac {35b }{ 4 } =910\)

\(35b=3640\)

\(b=104\)

Jetzt kennen wir den Preis vom Bildschirm. Er kostet 104 Euro.

 

Als nächstes setzen wir \(b=104\) in Gleichung 1.) ein:

\(c=6*(104)\)

\(c=624\)

Der Preis für den Computer beträgt 624 Euro.

 

Nun müssen wir nur noch b und c in Gleichung 3.) einsetzen und wir haben alle Preise:

\(16*(104+624+d)=14560\)

\(104+624+d=910\)

\(728+d=910\)

\(d=182\)

Der Drucker kostet 182 Euro.

 

Zuletzt überprüfen wir unsere Lösungen, indem wir b,c und d in Gleichung 3.) Einsetzen:

\(16*(104+624+182)=14560\)

\(14560=14560\)

 

Antwort:

Der Drucker kostet 182 Euro, der Computer 624 Euro und der Bildschirm kostet 104 Euro pro Stück.

 

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