Analytische Geometrie: Flugbahnen

Aufgabe: Flugbahnen

Flugzeug Alpha fliegt geradlinig durch die Punkte A(-8|3|2) und B(-4|-1|4). Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer. Der Flughafen F befindet sich in der x-y-Ebene.

a) In welchem Punkt F ist das Flugzeug gestartet? In welchem Punkt T erreicht es seine Reiseflughöhe von 10 000m?

b) Flugzeug Beta steuert Punkt C(10|-10|5) aus Richtung \(\vec{v}=\left( \begin{array}{ccc} -2 \\ +2 \\ -1 \end{array} \right)\) an. Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge keinesfalls kollidieren können.

c) In dem Moment, an dem Flugzeug Alpha den Punkt B passiert, erreicht Flugzeug Beta den Punkt C. Wie groß ist die Entfernung der Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt?

d) Beim Passieren von Punkt C wird Flugzeug Beta vom Tower aufgefordert, in Richtung \(\vec{v_{1 }}=\left( \begin{array}{ccc} -5 \\ +4 \\ -1 \end{array} \right)\) weiterzufliegen. In 1000m Höhe soll eine weitere Kursänderung erfolgen, die Flugzeug Beta zum Flughafen F bringt. In welche Richtung muss diese letzte Korrektur das Flugzeug führen?

 

Aufgabe a):

 

In welchem Punkt F ist das Flugzeug gestartet?

1.) Wir stellen die Gerade auf, auf der das Flugzeug fliegt:

Der Stützvektor ist \(\vec{s}=\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\), alternativ kann man auch \(\vec{s}=\left( \begin{array}{ccc} -4 \\ -1 \\ +4 \end{array} \right)\) verwenden.

Der Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz beider Punkte, durch die das Flugzeug fliegt:

\(\vec{r}=\left( \begin{array}{ccc} -4-(-8) \\ -1-3 \\ +4-2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)

Aus dem Richtungsvektor und dem Stützvektor ergibt sich die Gerade:

\(g: \vec{x}=\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\)+\(r\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)

 

2.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Da der Startpunkt F gesucht ist, welcher in der x-y-Ebene liegt, muss z=0 sein.

Es gilt: \(\vec{f}=g: \vec{x}\)

\(\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\)+\(r\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)=\(\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ 0 \end{array} \right)\)

Hieraus folgt das Gleichungssystem:

1.) \(x=4r-8\)

2.) \(y=-4r+3\)

3.) \(0=2r+2\)

Durch das lösen des Gleichungssystems erhält man Folgende Lösungen:

z=0

y=7

x=-12

Das heißt, dass der Punkt, wo das Flugzeug startete F(-12|7|0) ist.

 

In welchem Punkt T erreicht es seine Reiseflughöhe von 10 000m?

Da eine Einheit des Koordinatensystems einem Kilometer entspricht, müssen wir die 10000m in Kilometer umwandeln. Das wären 10 km.

1.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Da die z-Komponente die Höhe des Flugzeugs angibt, ergibt sich der Punkt: T(x|y|10). Nun müssen wir den Spaltenvektor von T mit der Geraden g gleichsetzen, daraus ergibt sich das Gleichungssystem:

1.) \(x=4r-8\)

2.) \(y=-4r+3\)

3.) \(10=2r+2\)

Durch das lösen des Gleichungssystems erhält man Folgende Lösungen:

x=8

y=-13

z=10

Das Flugzeug erreicht im Punkt T(8|-13|10) eine Flughöhe von 10 km.

 

Aufgabe b):

 

Können die Flugzeuge kollidieren?

1.) Über prüfe die Richtungsvektoren auf Kollinearität:

Um zu überprüfen, ob 2 Vektoren parallel, kollinear, sind, müssen die Vektoren ein vielfaches voneinander sein. Wenn man den Vektor \(\vec{v}=\left( \begin{array}{ccc} -2 \\ +2 \\ -1 \end{array} \right)\) mit -2 multipliziert, erhält man den Richtungsvektor von der Geraden g, daher sind beide Vektoren parallel oder identisch. Da das Flugzeug Beta durch den Punkt C(10|-10|5) fliegt, darf Flugzeug Alpha nicht hindurch fliegen, da die Fluglinien sonst gleich wären. Deshalb müssen wir überprüfen, ob Punkt C auf der Geraden g liegt.

 

2.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Setze den Spaltenvektor von C gleich der Geraden von g:

1.) \(10=4r-8\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 18 }{ 4 }\)

2.) \(-10=-4r+3\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 13 }{ 4 }\)

3.) \(5=2r+2\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 3 }{ 2 }\)

Da wir unterschiedliche Werte für r erhalten, liegt der Punkt C nicht auf der Flugbahn vom Flugzeug Alpha, demzufolge fliegen die Flugzeuge parallel, aber können sich nicht kreuzen.

 

Aufgabe c):

 

Wie groß ist der Abstand zwischen Punkt B und Punkt C?

Der Abstand zwischen 2 Punkten lässt sich mit der Abstandsformel bestimmen:

\(d\equiv\sqrt{ (x_{ 2 }-x_{ 1 })^{ 2 }+(y_{ 2 }-y_{ 1 })^{ 2 }+(z_{ 2 }-z_{ 1 })^{ 2 } }\)

Die beiden Punkte sind B(-4|-1|4) und C(10|-10|5).

Also:

\(d\equiv\sqrt{ (-14)^{ 2 }+(9))^{ 2 }+(-1)^{ 2 } }\)

\(d\equiv\sqrt{ 278 }\approx16.67\)

Die Flugzeuge sind zu diesem Zeitpunkt rund 16.67 km voneinander entfernt.

 

Aufgabe d):

 

 

 

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