Analytische Geometrie: Flugbahnen

Aufgabe: Flugbahnen

Flugzeug Alpha fliegt geradlinig durch die Punkte A(-8|3|2) und B(-4|-1|4). Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer. Der Flughafen F befindet sich in der x-y-Ebene.

a) In welchem Punkt F ist das Flugzeug gestartet? In welchem Punkt T erreicht es seine Reiseflughöhe von 10 000m?

b) Flugzeug Beta steuert Punkt C(10|-10|5) aus Richtung \(\vec{v}=\left( \begin{array}{ccc} -2 \\ +2 \\ -1 \end{array} \right)\) an. Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge keinesfalls kollidieren können.

c) In dem Moment, an dem Flugzeug Alpha den Punkt B passiert, erreicht Flugzeug Beta den Punkt C. Wie groß ist die Entfernung der Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt?

d) Beim Passieren von Punkt C wird Flugzeug Beta vom Tower aufgefordert, in Richtung \(\vec{v_{1 }}=\left( \begin{array}{ccc} -5 \\ +4 \\ -1 \end{array} \right)\) weiterzufliegen. In 1000m Höhe soll eine weitere Kursänderung erfolgen, die Flugzeug Beta zum Flughafen F bringt. In welche Richtung muss diese letzte Korrektur das Flugzeug führen?

 

Aufgabe a):

 

In welchem Punkt F ist das Flugzeug gestartet?

1.) Wir stellen die Gerade auf, auf der das Flugzeug fliegt:

Der Stützvektor ist \(\vec{s}=\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\), alternativ kann man auch \(\vec{s}=\left( \begin{array}{ccc} -4 \\ -1 \\ +4 \end{array} \right)\) verwenden.

Der Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz beider Punkte, durch die das Flugzeug fliegt:

\(\vec{r}=\left( \begin{array}{ccc} -4-(-8) \\ -1-3 \\ +4-2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)

Aus dem Richtungsvektor und dem Stützvektor ergibt sich die Gerade:

\(g: \vec{x}=\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\)+\(r\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)

 

2.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Da der Startpunkt F gesucht ist, welcher in der x-y-Ebene liegt, muss z=0 sein.

Es gilt: \(\vec{f}=g: \vec{x}\)

\(\left( \begin{array}{ccc} -8 \\ +3 \\ +2 \end{array} \right)\)+\(r\left( \begin{array}{ccc} +4 \\ -4 \\ +2 \end{array} \right)\)=\(\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ 0 \end{array} \right)\)

Hieraus folgt das Gleichungssystem:

1.) \(x=4r-8\)

2.) \(y=-4r+3\)

3.) \(0=2r+2\)

Durch das lösen des Gleichungssystems erhält man Folgende Lösungen:

z=0

y=7

x=-12

Das heißt, dass der Punkt, wo das Flugzeug startete F(-12|7|0) ist.

 

In welchem Punkt T erreicht es seine Reiseflughöhe von 10 000m?

Da eine Einheit des Koordinatensystems einem Kilometer entspricht, müssen wir die 10000m in Kilometer umwandeln. Das wären 10 km.

1.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Da die z-Komponente die Höhe des Flugzeugs angibt, ergibt sich der Punkt: T(x|y|10). Nun müssen wir den Spaltenvektor von T mit der Geraden g gleichsetzen, daraus ergibt sich das Gleichungssystem:

1.) \(x=4r-8\)

2.) \(y=-4r+3\)

3.) \(10=2r+2\)

Durch das lösen des Gleichungssystems erhält man Folgende Lösungen:

x=8

y=-13

z=10

Das Flugzeug erreicht im Punkt T(8|-13|10) eine Flughöhe von 10 km.

 

Aufgabe b):

 

Können die Flugzeuge kollidieren?

1.) Über prüfe die Richtungsvektoren auf Kollinearität:

Um zu überprüfen, ob 2 Vektoren parallel, kollinear, sind, müssen die Vektoren ein vielfaches voneinander sein. Wenn man den Vektor \(\vec{v}=\left( \begin{array}{ccc} -2 \\ +2 \\ -1 \end{array} \right)\) mit -2 multipliziert, erhält man den Richtungsvektor von der Geraden g, daher sind beide Vektoren parallel oder identisch. Da das Flugzeug Beta durch den Punkt C(10|-10|5) fliegt, darf Flugzeug Alpha nicht hindurch fliegen, da die Fluglinien sonst gleich wären. Deshalb müssen wir überprüfen, ob Punkt C auf der Geraden g liegt.

 

2.) Aufstellen des Gleichungssystems:

Setze den Spaltenvektor von C gleich der Geraden von g:

1.) \(10=4r-8\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 18 }{ 4 }\)

2.) \(-10=-4r+3\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 13 }{ 4 }\)

3.) \(5=2r+2\)\(\Leftrightarrow\)\(r=\frac{ 3 }{ 2 }\)

Da wir unterschiedliche Werte für r erhalten, liegt der Punkt C nicht auf der Flugbahn vom Flugzeug Alpha, demzufolge fliegen die Flugzeuge parallel, aber können sich nicht kreuzen.

 

Aufgabe c):

 

Wie groß ist der Abstand zwischen Punkt B und Punkt C?

Der Abstand zwischen 2 Punkten lässt sich mit der Abstandsformel bestimmen:

\(d\equiv\sqrt{ (x_{ 2 }-x_{ 1 })^{ 2 }+(y_{ 2 }-y_{ 1 })^{ 2 }+(z_{ 2 }-z_{ 1 })^{ 2 } }\)

Die beiden Punkte sind B(-4|-1|4) und C(10|-10|5).

Also:

\(d\equiv\sqrt{ (-14)^{ 2 }+(9))^{ 2 }+(-1)^{ 2 } }\)

\(d\equiv\sqrt{ 278 }\approx16.67\)

Die Flugzeuge sind zu diesem Zeitpunkt rund 16.67 km voneinander entfernt.

 

Aufgabe d):

 

 

 

Lineares Gleichungssystem: Alter berechnen

Aufgabe: Jens und Daniels Alter berechnen

Jens ist doppelt so alt wie Daniel. Zusammen sind sie 27 Jahre alt. Stell eine Gleichung auf und löse sie.

 

Lösung:

Frage:

Wie alt sind Jens und Daniel?

 

Rechnung:

1.) Zuerst bestimmen wir die Variablen für das Alter der beiden:

a: Alter von Jens

b: Alter von Daniel

 

2.) Aufstellen der Gleichungen:

„Jens ist doppelt so alt wie Daniel.“

Demzufolge ist das Alter von Jens 2 mal so groß, wie das von Daniel.

Also: \(a=2b\)

 

„Zusammen sind sie 27 Jahre alt“

Also: \(a+b=27\)

 

3.) Löse das Gleichungssystem:

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

1.) \(a=2b\)

2.) \(a+b=27\)

 

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, benutzen wir das Einsetzungsverfahren. Natürlich kann man auch das Gleichsetzungsverfahren oder das Additions- und Subtraktionsverfahren verwenden.

 

Setze Gleichung 1.) in Gleichung 2.):

3.) \(2b+b=27\)

3.) \(3b=27\)

3.) \(b=9\)

 

Nun müssen wir nur noch b in Gleichung 1.) einsetzen:

\(a=2*(9)\)

\(a=18\)

 

Zuletzt überprüfen wir unsere Lösungen, indem wir a und b in Gleichung 2.) Einsetzen:

\(18+9=27\)

\(27=27\)

 

Antwort:

Daniel ist 9 Jahre und Jens ist 18 Jahre alt.

 

Wie löst man lineare Gleichungssysteme?

 

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Gleichungssystem: Textaufgabe mit linearen Gleichungen

Aufgabe: Computerausrüstung im Informatikraum

In einem Informatikraum einer Hauptschule wurde jeder Arbeitsplatz mit einem Computer, einem Drucker und einem Bildschirm ausgestattet. Ein Computer kostet 6 mal so viel wie ein Bildschirm. Der Preis für einen Drucker belief sich auf \(\frac { 1 }{ 4 } \) des Preises, der für Computer und Bildschirm, insgesamt berechnet wurde. 16 Arbeitsplätze kosteten insgesamt 14560 Euro. Berechne die Preise der Einzelgeräte mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung:

 

Frage:

Wie teuer sind die einzelnen Geräte?

 

Rechnung:

1.) Zuerst bestimmen wir Variablen für die einzelnen Kosten der Geräte:

b: Bildschirm

c: Computer

d: Drucker

 

2.) Aufstellen der Gleichungen:

„Ein Computer kostet 6 mal so viel wie ein Bildschirm.“

Hier lässt sich herausschreiben, dass ich anstatt eines Computers auch 6 Bildschirme kaufen könnte.

Also: \(c=6*b\)

 

„Der Preis für einen Drucker belief sich auf \(\frac { 1 }{ 4 } \) des Preises, der für Computer und Bildschirm, insgesamt berechnet wurde.“

Das heißt, ich hätte mir anstatt eines Computers und eines Bildschirmes auch 4 Drucker kaufen können.

Also: \(4*d=c+b\)

Da wir aber nur den Preis für einen Drucker wissen möchten, teilen wir die Gleichung mit 4:

\(d=\frac { 1 }{ 4 }(c+b) \)

 

„16 Arbeitsplätze kosteten insgesamt 14560 Euro:“

Demzufolge kosten 16 mal die Ausstattungen für einen Arbeitsplatz 14560 Euro.

Also: \(16*(b+c+d)=14560\)

 

3.) Löse das Gleichungssystem:

Nun ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

1.) \(c=6*b\)

2.) \(d=\frac { 1 }{ 4 }(c+b) \)

3.) \(16*(b+c+d)=14560\)

 

Nun kann man verschiedene Lösungsverfahren, wie das Einsetzungsverfahren, das Additions- und Subtrationsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Wir verwenden das Einsetzungsverfahren.

 

Zuerst setzen wir Gleichung 1.) in Gleichung 2.) ein und lösen nach b auf:

4.) \(d=\frac { 1 }{ 4 }(6*b+b) \)

4.) \(d=\frac {7b }{ 4 } \)

 

Jetzt setzen wir Gleichung 4.) und Gleichung 1.) in Gleichung 3.) ein:

\(16*(b+6*b+\frac {7b }{ 4 } )=14560\)

\(7b+\frac {7b }{ 4 } =910\)

\(\frac {35b }{ 4 } =910\)

\(35b=3640\)

\(b=104\)

Jetzt kennen wir den Preis vom Bildschirm. Er kostet 104 Euro.

 

Als nächstes setzen wir \(b=104\) in Gleichung 1.) ein:

\(c=6*(104)\)

\(c=624\)

Der Preis für den Computer beträgt 624 Euro.

 

Nun müssen wir nur noch b und c in Gleichung 3.) einsetzen und wir haben alle Preise:

\(16*(104+624+d)=14560\)

\(104+624+d=910\)

\(728+d=910\)

\(d=182\)

Der Drucker kostet 182 Euro.

 

Zuletzt überprüfen wir unsere Lösungen, indem wir b,c und d in Gleichung 3.) Einsetzen:

\(16*(104+624+182)=14560\)

\(14560=14560\)

 

Antwort:

Der Drucker kostet 182 Euro, der Computer 624 Euro und der Bildschirm kostet 104 Euro pro Stück.

 

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Analysis: Kurvendiskussion einer e-Funktion

Funktionsuntersuchung/ Kurvendiskussion mit einer e-Funktion

Gegeben ist die Funktion \(f\left(x\right)=(x+3)e^{ -0.5x }\).

Aufgaben:

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

b) Zeichnen Sie den Graphen von f für \(3,5 \leq x \leq 6\).

c) Wie verhält sich die Funktion f für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)?

d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.

e) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f und den Koordinatenachsen und der Geraden x=3 vollständig begrenzt wird.

f) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der Funktionen f und \(g\left( x \right) ={ e }^{ -o,5x }\). Unter welchem Winkel schneiden sich diese beiden Kurven?

g) Vom Punkt P(5|0) sollen Tangenten an den Graphen von f gelegt werden. Bestimmen Sie die Berührpunkte und die Tangentengleichungen.

 

Aufgabe a):

 

1.) Nullstellen:

Es gilt die Bedingung \(f\left( x \right)=0\).

\((x+3)e^{ -0.5x }=0\)                  \(| \)Satz des Nullprodukts

\(x+3=0\)            \(\vee \)             \(e^{ -0.5x }\neq 0\)

\(x=-3\)

Die Nullstelle liegt bei \(N(-3|0)\).

 

2.) Extrema:

Leite \(f\left( x \right)\) ab:

\(f\left(x\right)=(x+3)e^{ -0.5x }\)

\(f^{ \prime }\left( x \right)=1e^{ -0.5x }+(x+3)e^{ -0.5x }(-\frac { 1 }{ 2 }) \)

\(f^{ \prime }\left( x \right)=e^{ -0.5x }(1+(x+3)(-\frac { 1 }{ 2 })) \)

\(f^{ \prime }\left( x \right)=e^{ -0.5x }(1+-\frac { 1 }{ 2 }x-1,5) \)

\(f^{ \prime }\left( x \right)=e^{ -0.5x }(-\frac { 1 }{ 2 }x-0,5) \)

 

Es gilt das notwendige Kriterium \(f^{ \prime }\left( x \right) =0\).

\(e^{ -0.5x }(-\frac { 1 }{ 2 }x-0,5)=0\)          \(| \)Satz des Nullprodukts

\(-\frac { 1 }{ 2 }x-0,5=0\)            \(\vee \)             \(e^{ -0.5x }\neq 0\)

\(-\frac { 1 }{ 2 }x=0,5\)

\(x=-1\)

\(x=-1\) ist eine mögliche Extremstelle.

 

Es gilt das hinreichende Kriterium \(f^{ \prime }\left( x \right) =0\) und \(f^{ \prime }\left( x \right)\) hat an der Stelle x=-1 einen Vorzeichenwechsel.

\(f^{ \prime }\left( -2 \right)=\frac { 1 }{ 2 }e\)

\(f^{ \prime }\left( -1 \right)=0\)

\(f^{ \prime }\left( 0 \right)=-\frac { 1 }{ 2 }\)

Da \(f^{ \prime }\left( x \right)\) an der Stelle x=-1 einen Vorzeichenwechsel von + nach – hat, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor.

 

Setze x=-1 in \(f\left(x\right)\) ein, um die y-Koordinate zu berechnen:

\(f\left(-1\right)=(-1+3)e^{ -0.5(-1) }=2e^{ 0.5}\)

Der Hochpunkt ist bei H(-1|\(2e^{ 0.5} \)).

 

3.) Wendepunkte:

Leite \(f^{ \prime }\left( x \right)\) ab:

\(f^{ \prime }\left( x \right)=e^{ -0.5x }(-\frac { 1 }{ 2 }x-0,5) \)

\(f^{ \prime\prime }\left( x \right)=-\frac{ 1 }{ 2 }e^{ -0,5 }(-\frac{ 1 }{ 2 }x-\frac{ 1 }{ 2 })+e^{ -0,5x }(-\frac{ 1 }{ 2 })\)

\(f^{ \prime\prime }\left( x \right)=e^{ -0,5 }(\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }-\frac{ 1 }{ 2 })\)

\(f^{ \prime\prime }\left( x \right)=e^{ -0,5 }(\frac{ 1 }{ 4 }x-\frac{ 1 }{ 4 })\)

 

Es gilt das notwendige Kriterium \(f^{ \prime\prime }\left( x \right) =0\)

\(e^{ -0,5 }(\frac{ 1 }{ 4 }x-\frac{ 1 }{ 4 })=0\)                     \(| \)Satz des Nullprodukts

\(\frac{ 1 }{ 4 }x-\frac{ 1 }{ 4 }=0\)            \(\vee \)             \(e^{ -0,5 }\neq 0\)

\(x=1\)

x=1 ist eine mögliche Wendestelle.

 

Es gilt das hinreichende Kriterium \(f^{ \prime \prime }\left( x \right) =0\) und \(f^{ \prime \prime }\left( x \right)\) hat an der Stelle x=1 einen Vorzeichenwechsel.

\(f^{ \prime }\left( 0 \right)=-\frac { 1 }{ 4 }\)

\(f^{ \prime }\left( 1 \right)=0\)

\(f^{ \prime }\left( 2 \right)=\frac { 1 }{ 4 }\)

Da \(f^{ \prime \prime }\left( x \right)\) an der Stelle x=1 einen Vorzeichenwechsel von – nach + hat, liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt an dieser Stelle vor.

 

Setze x=1 in \(f\left(x\right)\) ein, um die y-Koordinate zu berechnen:

\(f\left(1\right)=(1+3)e^{ -0.5(1) }=4e^{ -0.5}\)

Der Rechts-Links-Wendepunkt ist bei W(1|\(4e^{ -0.5}\)).

 

Aufgabe c):

 

Für x \(\rightarrow \infty \) geht \(f\left( x \right) \rightarrow 0\)

Für x \(\rightarrow -\infty \) geht \(f\left( x \right) \rightarrow -\infty\)

 

Aufgabe d):

 

Bilde die Stammfunktion mittels der partiellen Integration:

F(x)=\(\int {(x+3)e^{ -0.5x }}dx \)=\(\left[ -2(x+3){ e }^{ -0,5x } \right] \)–\(\int {-2e^{ -0.5x }}dx \) 

F(x)=\(\left[ -2(x+3){ e }^{ -0,5x } \right] \)\(-4e^{ -0.5x } \)

F(x)=\(-2(x+3){ e }^{ -0,5x } \)\(-4e^{ -0.5x } \)

F(x)=\({ e }^{ -0,5x }(-2(x+3)-4) \)

F(x)=\({ e }^{ -0,5x }(-2x-6-4) \)

F(x)=\({ e }^{ -0,5x }(-2x-10) \)

 

Aufgabe e):

 

Da die Fläche durch die Gerade x=3 und die y-Achse begrenzt wird, ist die untere Schranke 0 und die obere Schranke 3.

A=\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ (x+3){ e }^{ -0,5x } }dx\)=\(\left[ { e }^{ -0,5x }(-2x-10) \right]^{3 }_{ 0}\)

A= \(\left( { e }^{ -1,5 }\left( -16 \right) \right) -\left( -10 \right) \approx 6,42992 \) 

Die Fläche ist rund 6,42992 \(\left[ FE \right] \) groß.

 

Aufgabe f):

 

Um den Schnittwinkel zweier Funktionen zu berechnen, gilt die Formel: \(\alpha = \arctan\left(\left|\frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\right)\)

 

1.) Schnittstellen berechnen:

Es gilt: \(g\left( x \right)=f\left( x \right)\)

\({ e }^{ -o,5x }=(x+3)e^{ -0.5x }\)                  \(| :e^{ -0.5x } \)

\(1=x+3\)

\(x=-2\)

An der Stelle x=-2 schneiden sich die Funktionen.

 

2.) Steigungen der Funktionen an der Stelle x=-2:

\(f^{ \prime }\left( -2 \right)=e^{ -0.5*(-2) }(-\frac { 1 }{ 2 }*(-2)-0,5)=\frac { 1 }{ 2 } e \)