Kurvendiskussion

Was ist die Kurvendiskussion?

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit der Kurvendiskussion und beantworten die Fragen, was die Kurvendiskussion ist, was sie alles beinhaltet und wie das Vorgehen ist.

[alert style=“warning“]Jede Abbildung einer Funktion hat bestimmte Charakteristiken, die die Kurvendiskussion untersucht.[/alert]

Die zu untersuchenden Charakteristiken einer Funktion sind:

  1. ) Graph zeichnen
  2. ) Nullstellen
  3. ) Y-Achsenabschnitt
  4. ) Extrempunkte
  5. ) Wendepunkte
  6. ) Symmetrieverhalten
  7. ) Randverhalten
  8. ) Monotonieverhalten
  9. ) Krümmungsverhalten

Diese Charakteristiken werden im Folgenden anhand der Funktion \(f\left(x\right)=3x^{2}-9x+6\) untersucht.

 

1.) Zeichne den Funktionsgraphen

Graph

 

2.) Nullstellen

Nullstellen sind diejenigen Stellen, wo die Abbildung der Funktion die x-Achse schneidet bzw. berührt.

[alert style=“warning“]Zum Berechnen der Nullstellen gilt die Bedingung: \(f\left(x\right)=0\)[/alert]

\(3x^{2}-9x+6=0\)

Es liegt eine quadratische Gleichung vor, welche man mit der pq-Formel oder mit der Mitternachtsformel lösen kann. Wir wählen die Mitternachtsformel:

a=3           b=-9           c=6

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -(-9)\pm\sqrt{ (-9)^{ 2 }-4*3*6 } }{ 2*3 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +9\pm\sqrt{ 81-4*3*6 } }{ 6 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +9\pm\sqrt{ 9 } }{ 6 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +9\pm3 }{ 6 }\)

\(x_{ 1 }=\frac{ +9+3 }{ 6 }=2 \)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=\frac{ +9-3 }{ 6 }=1\)

Die Nullstellen der Funktion sind \(N_{ 1 }\left( 2|0 \right)\) und \(N_{ 2 }\left( 1|0 \right).\)  

 

3.) Y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

[alert style=“warning“]Zum Berechnen des y-Achsenabschnitts gilt die Bedingung: \(f\left(0\right)=y\)[/alert]

\(f\left(0\right)=3*(0)^{2}-9*(0)+6=y\)

\(f\left(0\right)=3*(0)^{2}-9*(0)+6=y=6\)

Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(S_{ y }\left( 0|6 \right)\)

 

4.) Extrempunkte

[alert style=“warning“]Zum Berechnen der Extrempunkte gilt die notwendige Bedingung: \(f^{ \prime }\left( x \right) =0\)[/alert]

Mit dieser Bedingung berechnen wir alle stellen, wo man am Graphen eine waagerechte Tangente anlegen kann, hierzu wird die erste Ableitung benötigt:

\(f\left(x\right)=3x^{2}-9x+6\)

\(f^{ \prime }\left( x \right)=6x-9\)

Nun wenden wir die Bedingung an und setzen die Gleichung gleich =0.

\(6x-9=0\)              \(|+9\)

\(6x=9\)                 \(|:6\)

\(x=1.5\)  

Bei x=1.5 lieht eine mögliche Extremstelle, welche wir auf das hinreichende Kriterium überprüfen müssen.

[alert style=“warning“]Das hinreichende Kriterium der Extremstelle ist, dass das notwendige Kriterium erfüllt ist und dass \(f^{ \prime }\left( x \right)\) an der Stelle x=1.5 einen Vorzeichenwechsel hat.[/alert]

\(f^{ \prime }\left( 1 \right)=6*(1)-9=-3\)

\(f^{ \prime }\left( 1.5 \right)=0\)

\(f^{ \prime }\left( 2 \right)=6*(2)-9=3\)

Da die Funktion einen Vorzeichenwechsel von – nach + an der Stelle x=1.5 besitzt, liegt an dieser Stelle ein Tiefpunkt vor.

 

5.) Wendepunkte

[alert style=“warning“]Zum Berechnen der Wendestellen gilt die notwendige Bedingung: \(f^{ \prime\prime }\left( x \right)=0\)[/alert].

Mit dieser Bedingung berechnen wir alle Stellen, wo ein Wendepunkt sein könnte. Dafür müssen wir die 2. Ableitung bilden.

\(f^{ \prime }\left( x \right)=6x-9\)

\(f^{ \prime\prime }\left( x \right)=6\)

Da die 2.Ableitung ungleich 0 ist, besitzt diese Funktion keinen Wendepunkt.

 

6.) Symmetrieverhalten