Mitternachtsformel

Was ist die Mitternachtsformel und wie wendet man sie an?

In diesem Artikel beschäftigen wir uns der mit Mitternachts- oder auch ABC-Formel und beantworten die fragen, was sie ist, wofür man sie verwendet und wo der Vorteil zur pq-Formel liegt. Am Ende findest Du Aufgaben mit Lösungen.

[alert style=“warning“]Die Mitternachtsformel ist ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. [/alert]

 

Was ist eine quadratische Gleichung und wann darf man die anc-Formel anwenden?

[alert style=“success“]Allgemein sind quadratische Gleichungen nach dem Schema \(ax^{ 2 }+bx+c=0\) mit \(a,b,c \in\mathbb{R}\) und \(a\neq0\) aufgebaut. Zum Anwenden der Mitternachtsformel müssen quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form vorliegen.[/alert]

Beispiele quadratischer Gleichungen sind:

1.) \(3x^{ 2 }+65x-8=0\)  

2.) \(8x^{ 2 }-3x-5=0\)  

3.) \(-6x^{ 2 }+43x+4,5=0\)  

Die Mitternachtsformel, wie auch die pq-Formel, sind Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Der Unterschied liegt darin, dass die Gleichung bei der pq-Formel normiert werden muss, bei der Mitternachtsformel darf sie in der allgemeinen Form verwendet werden.

 

Die Mitternachtsformel lautet:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\) 

 

Bei der Mitternachtsformel oder auch abc-Formel, gibt es 3 Variablen: a, b und c.

Dabei ist a der Vorfaktor von \(x^{ 2 }\), b ist der Koeffizient von \(x\) und c ist das absolute Glied, also das, was kein \(x\) anhängend hat.

Beispiele für a,b und c:

1.) \(3x^{ 2 }+65x-8=0\)  

a=3          b=+65          c=-8

2.) \(8x^{ 2 }-3x-5=0\)  

a=8          b=-3             c=-5

3.) \(-6x^{ 2 }+43x+4,5=0\)

a=-6         b=43            c=4,5

 

Wie wendet man die Mitternachtsformel an?

Nehmen wir die Gleichungen aus den zuvor genannten Beispielen:

 

Beispiel 1: \(3x^{ 2 }+65x-8=0\)

1.) Zuerst suchen wir a,b und c heraus:

a=3          b=+65          c=-8

 

2.) Setze a,b und c in die Mitternachtsformel ein:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -65\pm\sqrt{ (65)^{ 2 }-4*(3)*(-8) } }{ 2*(3) }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -65\pm\sqrt{ 4225+96 } }{ 6 }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -65\pm\sqrt{ 4321 } }{ 6 }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -65\pm65.7343 }{ 6 }\) 

\(x_{ 1 }\approx0.12\)              \(\vee\)               \(x_{ 2 }\approx-21.79\) 

 

Beispiel 2: \(8x^{ 2 }-3x-5=0\)

1.) Zuerst suchen wir a,b und c heraus:

a=8          b=-3           c=-5

 

2.) Setze a,b und c in die Mitternachtsformel ein:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +3\pm\sqrt{ (-3)^{ 2 }-4*(8)*(-5) } }{ 2*(8) }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +3\pm\sqrt{ 9+160 } }{ 16 }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ +3\pm13 }{ 16 }\) 

\(x_{ 1 }=1\)                \(\vee\)                 \(x_{ 2 }=-\frac{ 5 }{ 8 }\) 

 

Beispiel 3: \(-6x^{ 2 }+43x+4,5=0\)

1.) Zuerst suchen wir a,b und c heraus:

a=-6          b=43           c=4.5

 

2.) Setze a,b und c in die Mitternachtsformel ein:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -43\pm\sqrt{ (43)^{ 2 }-4*(-6)*(4.5) } }{ 2*(-6) }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -43\pm\sqrt{ 1849-108 } }{ -12 }\) 

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -43\pm\sqrt{ 1741 } }{ -12 }\) 

\(x_{ 1 }\approx-0.1\)                \(\vee\)                 \(x_{ 2 }\approx7.06\)

 

Was ist die Diskriminante der Mitternachtsformel?

Die Diskriminante D der aba-Formel ist der Term, welcher unter der Wurzel steht. Also:

\(D=b^{ 2 }-4ac\) 

Dieser Term gibt uns Informationen darüber, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung besitzt.

[alert style=“warning“]

Allgemein gilt:

 \(D>0\Rightarrow \) 2 Lösungen

 \(D<0\Rightarrow \) Keine Lösungen

 \(D=0\Rightarrow\) 1 Lösung[/alert]

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Wie ist die Herleitung der Mitternachtsformel?

Gegeben ist die Gleichung \(ax^{ 2 }+bx+c=0\). Um den Koeffizienten von \(ax^{ 2 }\) auf 1 zu bringen, muss man mit a dividieren:

\(ax^{ 2 }+bx+c=0\)              \( |:a \)

\(\frac{ a }{ a }x^{ 2 }+\frac{ b }{ a }x+\frac{ c }{ a }=0\)

\(x^{ 2 }+\frac{ b }{ a }x+\frac{ c }{ a }=0\)

Im Folgenden hat man \(\frac{ b }{ a }\) durch p und \(\frac{ c }{ a }\) durch q ersetzt bzw. substituiert. Daraus folgt nun folgende Gleichung:

\(x^{ 2 }+px+q=0\).

Diese Gleichung ist die sogenannte Normalform.

Ausgegangen von der Normalform, hat man die sogenannte quadratische Ergänzung angewendet:

\(x^{ 2 }+px+q=0\)              \( | +(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }, -(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }\)

Da man mit einer Zahl addiert, und diese dann wieder subtrahiert, ändert sich nichts am Gleichnis der Gleichung. Im folgenden wird dann die binomische Formel angewendet:

\(x^{ 2 }+px+q+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }=0\)  

\(x^{ 2 }+px+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

\((x^{ 2 }+px+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 })-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

Als nächstes hat man \(-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q\) auf die andere Seite gebracht:

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)       \( | +(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }, -q\)

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }=(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q\)

Nun muss man nur noch die Wurzel ziehen und nach x umformen:

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }=(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q\)            \( | \sqrt{ }\)

\(x+\frac{ p }{ 2 }=\pm\sqrt{ (\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q }\)              \( | -\frac{ p }{ 2 }\)

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

Da man am Anfang \(\frac{ b }{ a }\) durch p und \(\frac{ c }{ a }\) durch q ersetzt bzw. substituiert hat, substituieren wir es zurück:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ \frac{ b }{ a } }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ \frac{ b }{ a } }{2 } \right)^{ 2 }-\frac{ c }{ a } } \)  

Durch vereinfachen ergibt sich die bekannte Mitternachtsformel:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\)