PQ-Formel

Was ist die PQ-Formel und wie wendet man sie an?

In diesem Artikel erfährst Du, was die pq-Formel ist, wann und wie man sie anwendet und wofür sie nützlich sein kann. Außerdem erfährst Du, was die Diskriminante ist. Beispiele und Aufgaben sind natürlich dabei.

[alert style=“warning“]Die pq-Formel ist ein Lösungsverfahren für normierte quadratische Gleichungen. [/alert]

 

Wie geht man bei einer quadratischen Gleichung vor, wenn man die pq-Formel anwenden möchte?

[alert style=“success“]

Allgemein sind quadratische Gleichungen nach dem Schema \(ax^{ 2 }+bx+c=0\) mit \(a,b,c \in\mathbb{R}\) und \(a\neq0\) aufgebaut. Zum Anwenden der pq-Formel müssen quadratische Gleichungen normiert werden, also von der allgemeinen Form muss sie in die Normalform konvertiert werden. Hierzu gibt es 3 Bedingungen:

  1. ) Der Koeffizient von \(ax^{ 2 }\) muss 1 sein.
  2. ) Die Gleichung muss gleich 0 gesetzt sein.
  3. ) Die Gleichung muss zweiten Grades sein.[/alert]
Fangen wir mit Schritt 1.) an:

Gegeben ist die Gleichung \(ax^{ 2 }+bx+c=0\). Um den Koeffizienten von \(ax^{ 2 }\) auf 1 zu bringen, muss man mit a dividieren:

\(ax^{ 2 }+bx+c=0\)              \( |:a \)

\(\frac{ a }{ a }x^{ 2 }+\frac{ b }{ a }x+\frac{ c }{ a }=0\)

\(x^{ 2 }+\frac{ b }{ a }x+\frac{ c }{ a }=0\)

Zu Schritt 2.) und 3.):

Da die Gleichung schon gleich 0 gesetzt ist, und der Vorfaktor von \(ax^{ 2 }\) aus Schritt 1.) 1 groß ist, liegt die Gleichung wie folgt vor:

\(x^{ 2 }+\frac{ b }{ a }x+\frac{ c }{ a }=0\).

Im Folgenden hat man \(\frac{ b }{ a }\) durch p und \(\frac{ c }{ a }\) durch q ersetzt bzw. substituiert. Daraus folgt nun folgende Gleichung:

\(x^{ 2 }+px+q=0\).

Diese Gleichung ist die sogenannte Normalform, welche nun alle Bedingungen erfüllt, um die pq-Formel anwenden zu dürfen.

Die pq-Formel lautet:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

P ist immer die Zahl vor dem x und q ist immer die Zahl ohne einem x in der Normalform. Hierbei muss man beachten, dass man die Vorzeichen von p und q mit in die Formel einsetzt.

 

Beispiel: \(x^{ 2 }+9x-16=0\)

In diesem Fall ist p=9 und q=-16. Beim einsetzen von q in die Formel, muss man beachten, dass aus dem „-“ ein „+“ wird.

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 9 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 9 }{2 } \right)^{ 2 }-(-16) } \)

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 9 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 9 }{2 } \right)^{ 2 }+16 } \)

\(x_{ 1/2 }=-4.5\pm\sqrt{ (4.5)^{ 2 }+16 } \)

\(x_{ 1/2 }=-4.5\pm\sqrt{ 20.25+16 } \)

\(x_{ 1/2 }=-4.5\pm\sqrt{ 36.25 } \)

\(x_{ 1/2 }=-4.5+\sqrt{ 36.25 } \)        \(\vee\)         \(x_{ 1/2 }=-4.5-\sqrt{ 36.25 } \)

Damit ist die Lösung entweder \(x\approx1.5208\) oder \(x\approx-10.5208\).

 

Was ist die Diskriminante der pq-Formel ?

Die Diskriminante D der pq-Formel ist der Term, welcher unter der Wurzel steht. Also:

\(D=\left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q  \) 

Dieser Term gibt uns Informationen darüber, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung besitzt.

[alert style=“warning“]

Allgemein gilt:

 \(D>0\Rightarrow \) 2 Lösungen

 \(D<0\Rightarrow \) Keine Lösungen

 \(D=0\Rightarrow\) 1 Lösung[/alert]

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Für \(D>0\Rightarrow \) 2 Lösungen:

Wenn der Term größer als 0 ist, so existieren 2 Lösungen für die quadratische Gleichung.

Beispiel:

\(x^{ 2 }+6x+1=0\)

p=6          q=1

\(D=\left( \frac{ 6 }{2 } \right)^{ 2 }-1 \)

\(D=9-1 \)

\(D=8 \)

Da die Diskriminante größer als 0 ist, hat die quadratische Gleichung 2 Lösungen und ist somit auch lösbar.

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Für \(D<0\Rightarrow \) Keine Lösung:

Wenn der Term kleiner als 0 ist, so existiert keine Lösung für die quadratische Gleichung.

Beispiel:

\(x^{ 2 }+2x+4=0\)

p=2           q=4

\(D=\left( \frac{ 2 }{2 } \right)^{ 2 }-4 \)

\(D=1-4 \)

\(D=-3 \)

Da man im Bereich der reellen Zahlenmenge aus keiner Quadratwurzel einen negativen Radikanden ziehen kann, liegt für diese quadratische Gleichung keine reelle Lösung vor.

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Für \(D=0\Rightarrow \) 1 Lösung:

Wenn die Diskriminante=0 ist, liegt eine Lösung vor.

Beispiel:

\(x^{ 2 }+4x+4=0\)

p=4            q=4

\(D=\left( \frac{ 4 }{2 } \right)^{ 2 }-(-4) \)

\(D=4-4=0 \)

Da die Diskriminante=0 ist, besitzt diese quadratische Gleichung eine Lösung.

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Wie wendet man die pq-Formel an?

[row][col class=“col-sm-6″]

Beispiel 1: \(2x^{ 2 }+20x+18=0\)

1.) Teile die Gleichung mitdurch 2:

\(\frac{ 2 }{ 2 }x^{ 2 }+\frac{ 20 }{ 2 }x+\frac{ 18 }{ 2 }=0\)

\(x^{ 2 }+10x+9=0\)

2.) p und q herausfinden:

p=10         q=9

3.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 10 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 10 }{2 } \right)^{ 2 }-9 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{25-9 } \)  

\(x_{ 1 }=-5+\sqrt{16}=-1 \)        \(\vee\)         \(x_{ 2 }=-5-\sqrt{16}=-9 \)

[/col][col class=“col-sm-6″]

Beispiel 2: \(3x^{ 2 }+21x=24\)

1.) Teile die Gleichung mit 3:

\(x^{ 2 }+7x=8\)

2.) Subtrahiere mit 8:

\(x^{ 2 }+7x=8\)           \( | -8\)

\(x^{ 2 }+7x-8=0\)

3.) Finde p und q heraus:

p=7             q=-8

4.) Wende die Formel an:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 7 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 7 }{2 } \right)^{ 2 }-(-8) } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3.5\pm\sqrt{(3.5)^{ 2 }+8 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3.5\pm\sqrt{12.25+8 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3.5\pm\sqrt{20.25 } \)  

\(x_{ 1 }=-3.5+4.5=1 \)        \(\vee\)         \(x_{ 2 }=-3.5-4.5=-8 \)[/col][/row]

 

Wie ist die Herleitung der pq-Formel?

Ausgegangen von der Normalform, hat man die sogenannte quadratische Ergänzung angewendet:

\(x^{ 2 }+px+q=0\)              \( | +(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }, -(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }\)

Da man mit einer Zahl addiert, und diese dann wieder subtrahiert, ändert sich nichts am Gleichnis der Gleichung. Im folgenden wird dann die binomische Formel angewendet:

\(x^{ 2 }+px+q+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }=0\)  

\(x^{ 2 }+px+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

\((x^{ 2 }+px+(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 })-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)  

Als nächstes hat man \(-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q\) auf die andere Seite gebracht:

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }-(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }+q=0\)       \( | +(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }, -q\)

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }=(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q\)

Nun muss man nur noch die Wurzel ziehen und nach x umformen:

\((x+(\frac{ p }{ 2 }))^{ 2 }=(\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q\)            \( | \sqrt{ }\)

\(x+\frac{ p }{ 2 }=\pm\sqrt{ (\frac{ p }{ 2 })^{ 2 }-q }\)              \( | -\frac{ p }{ 2 }\)

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

 

Zusammenfassung:

Um es zusammenzufassen, die pq-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Hierbei muss man beachten, die allgemeine Form in die Normalform zu bringen. Das heißt, man muss den Koeffizienten von \( x^{ 2}\) auf 1 bringen und die Gleichung gleich 0 setzen. Zudem musst Du auf darauf achten, die Vorzeichen von p und q zu übernehmen.

 

Aufgaben:

1.) \( x² + 10x + 24 = 0\)

[accordiongroup id=“890″][accordion group=“890″ title=“Lösung mit der pq-Formel“ active=““]

1.) p und q herausfinden:

p=10         q=24

2.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 10 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 10 }{2 } \right)^{ 2 }-24 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ ( 5)^{ 2 }-24 } \)

 \(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ 25-24 } \)

 \(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ 1 } \)

 \(x_{ 1 }=-5+1=-4 \)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=-5-1=-6 \)

[/accordion][/accordiongroup]

2.) \(5x² – 36x + 55 = 0\)

[accordiongroup id=“782″][accordion group=“782″ title=“Lösung mit der pq-Formel“ active=““]

1.) Gleichung normieren:

\(5x² – 36x + 55 = 0\)                 \( | \ :5 \)

\(x² – 7.2x + 11 = 0\)  

2.) p und q herausfinden:

p=-7.2            q=11

3.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ -7.2 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ -7.2 }{2 } \right)^{ 2 }-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ (-3.6)^{ 2 }-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ 12.96-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ 1.96 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm1.4 \)  

\(x_{ 1 }=3.6+1.4=5\)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=3.6-1.4=2.2\)

[/accordion][/accordiongroup]