Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen lösen

In diesem Artikel erfährst Du, wie man quadratische Gleichungen löst und welche mathematischen Verfahren man anwenden kann. Dies wird durch Beispiele verdeutlicht.

[alert style=“warning“]Allgemein sind quadratische Gleichungen, Gleichungen zweiten Grades. Das heißt, dass der höchste Exponent von x genau Zwei groß ist. Oft werden a,b,c als Koeffizienten, also als Vorfaktoren, bzw. Stellvertreter für Zahlen verwendet.[/alert]

Insgesamt gibt es 5 Formen quadratischer Gleichungen:

1.) \(x^{ 2 }=0\)

2.) \(ax^{ 2 }=0\)

3.) \(ax^{ 2 }+b=0\)

4.) \(ax^{ 2 }+bx=0\)

5.) \(ax^{ 2 }+bx+c=0\)

 

Situation 2: \(ax^{ 2 }=0\)

Beispiel: \(7x^{ 2 }=0\)  

[alert style=“success“]Beim Lösen einer solchen Gleichung, geht man wie folgt vor:

  1. ) Bringe den Faktor 7 auf die andere Seite, indem Du mit 7 dividierst.
  2. ) Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten.[/alert]

1.) Dividiere mit 7:

\(7x^{ 2 }=0\)           \( |:7 \)

\(x^{ 2 }=0\)             

2.) Ziehe die Wurzel:

\(x^{ 2 }=0\)             \(|\sqrt{ }\)

\(\sqrt{ x^{ 2 } }=\sqrt{ 0 }\)

\(x=\pm0\)

Hierdurch lässt sich zeigen, dass alle quadratische Gleichungen mit diesem Aufbau nur eine Lösung besitzen. Die Lösung ist x=0.

 

Situation 3: \(ax^{ 2 }+b=0\)

Beispiel: \(2x^{ 2 }-32=0\)

[alert style=“success“]

Der Lösungsansatz dieses Typen ist:

  1. ) Forme die Gleichung so um, dass 32 auf der einen Seite steht und der quadratische Teil auf der anderen Seite.
  2. ) Teile mit 2 auf beiden Seiten.
  3. ) Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten.

[/alert]

1.) Addiere mit 32:

\(2x^{ 2 }-32=0\)               \( |+32 \)

2.) Teile mit 2:

\(2x^{ 2 }=32\)                  \( |:2 \)

3.) Ziehe die Wurzel:

\(x^{ 2 }=\frac{32}{2}\)                  \( | \sqrt{} \)

\(x_{ 1/2 }=\pm\sqrt{ \frac{32}{2} }\)

\( x_{1} =-4 \)        \(\vee\)         \(x_{2} =+4\)  

Die Lösungen dieser Gleichungen sind x=-4 oder x=4.

 

Situation 4: \(ax^{ 2 }+bx=0\)

Beispiel: \(2x^{ 2 }-18x=0\)

Da jeder Summand, jedes Glied, dieser Gleichung ein x anhängend hat, kann man dieses ausklammern und so den Satz des Nullproduktes anwenden.

[alert style=“success“]Löse die Gleichung folgendermaßen:

  1. ) Faktorisiere x.
  2. )  Setze beide entstandenen Faktoren gleich 0.
  3. ) Löse nach x auf.
    [/alert]

1.) Faktorisiere x:

\(2x^{ 2 }-18x=0\)     \( | x(…) \)

\(x(2x-18)=0\)

2.) Satz des Nullproduktes:

Da man ein Proukt vorliegen hat, welches im Gleichnis mit 0 steht, muss mindestens einer der beiden Faktoren auch 0 sein.

 \(x_{ 1 }=0\)             \(\vee\)                \(2x-18=0\)

3.) Löse nach x auf:

Eine Lösung ist x=0. Nun muss man die andere Gleichung, \(2x-18=0\), nach x auflösen.

\(2x-18=0\)           \( | +18\)

\(2x=18\)           \( | :2\)

\(x_{ 2 }=9\)

Die Lösungen für diese Gleichung sind x=9 oder x=0.

 

Situation 5: \(ax^{ 2 }+bx+c=0\)

Diese Typen von Gleichungen besitzen mehrere Lösungsverfahren wie zum Beispiel die pq-Formel, die Mitternachtsformel oder die quadratische Ergänzung.

Beispiel: \(2x^{ 2 }+12x-32=0\)

[accordiongroup id=“474″][accordion group=“474″ title=“pq-Formel“ active=““]

[alert style=“warning“]

Die pq-Formel ist ein Lösungsverfahren quadratischer Gleichungen, die aber nur bei normierten Gleichungen funktioniert. Eine Gleichung ist dann normiert, wenn

  1. ) der Koeffizient von \(x^{ 2 }\) gleich 1 ist,
  2. ) die Gleichung gleich 0 gestellt ist,
  3. ) und der höchste Exponent von x genau 2 groß ist.

[/alert]

Die pq-Formel lautet:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

[alert style=“success“]Gehe wie folgt vor:

  1. ) Normiere die Gleichung.
  2. ) Finde p und q heraus.
  3. ) Setze p und q in die pq-Formel ein.

[/alert]

1.) Normiere die Gleichung:

\(2x^{ 2 }+12x-32=0\)            \( \mid :2\)

\(1x^{ 2 }+6x-16=0\)

2.) Finde p und q heraus:

P ist immer der Koeffizient von x und q ist immer das absolute Glied, also das Glied, was kein x anhängend hat. Denk immer daran, das Vorzeichen von p und q zu übernehmen.

p=6                       q=-16

3.) Anwenden der pq-Formel:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

Setze p und q in die Formel ein.

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 6 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 6 }{2 } \right)^{ 2 }-(-16) } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3\pm\sqrt{ 9+16 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3\pm\sqrt{ 25 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-3\pm5 \)  

\(x_{ 1 }=-3+5=2 \)          \(\vee\)          \(x_{ 2 }=-3-5=-8 \)

Die Lösungen dieser Gleichung sind x=2 oder x=-8.

Die pq-Formel anwenden:

[/accordion][accordion group=“474″ title=“Quadratische Ergänzung“ active=““]Bei der quadratischen Ergänzung ist es das Ziel, ein quadratisches Binom zu erstellen, wodurch in der Gleichung nur noch ein x vorkommt.

[alert style=“success“]Das Vorgehen zum Lösen quadratischer Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung:

  1. ) Normiere die Gleichung.
  2. ) Finde p heraus, die Zahl vor dem x.
  3. ) Bilde \((\frac{p}{2})^{2} \).
  4. ) Bilde die Binomische Gleichung.
  5. ) Bringe die restlichen Glieder auf die andere Seite.
  6. ) Ziehe die Wurzel und löse nach x auf.

[/alert]

1.) Normierung der Gleichung:

\(2x^{ 2 }+12x-32=0\)           \( \mid :2\)

2.) Bestimme p:

\(1x^{ 2 }+6x-16=0\)

3.) Bilde \((\frac{p}{2})^{2} \):

\(1x^{ 2 }+6x-16=0\)             \( \mid +(\frac{p}{2})^{2}, -(\frac{p}{2})^{2}\)

\(1x^{ 2 }+6x+(\frac{6}{2})^{2}-(\frac{6}{2})^{2}-16=0\)

4.) Anwendung der binomischen Gleichung:

\((x+(\frac{6}{2})^{2})^{2} -(\frac{6}{2})^{2}-16=0\)       \( \mid +(\frac{6}{2})^{2}, +16\)

5.) Umformen:

\((x+(\frac{6}{2})^{2})^{2}=(\frac{6}{2})^{2}+16\)     

\((x+3)^{2}=9+16\)  

6.) Ziehen der Wurzel: 

\((x+3)^{2}=25\)                  \( | \sqrt{} \)

\(x+3=\pm5\)

\(x_{ 1 }=+5-3=2 \)                       \(\vee\)                     \(x_{ 2 }=-5-3=-8 \)

Die Lösungen dieser Gleichung sind x=2 oder x=-8.

Kompakt im Video zusammengefasst:

[/accordion][accordion group=“474″ title=“Mitternachtsformel“ active=““]

Der Vorteil der Mitternachtsformel ist, dass man die quadratische Gleichung nicht mehr normieren muss, man kann einfach die allgemeine Form verwenden:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a }\)

In unserem Fall, \(2x^{ 2 }+12x-32=0\), ist a=2, b=12 und c=-32. Setze a,b,c in die Mitternachtsformel ein:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm\sqrt{ 12^{ 2 }-4*(2)*(-32) } }{ 2*(2) }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm\sqrt{ 144-8*(-32) } }{ 4 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm\sqrt{ 144+256 } }{ 4 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm\sqrt{ 400 } }{ 4 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm\sqrt{ 400 } }{ 4 }\)              \( | \sqrt{} \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -12\pm20 }{ 4 }\)  

\(x_{ 1 }=\frac{ 8 }{ 4 }=2 \)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=\frac{ -32 }{ 4 }=-8 \)

Die Lösungen dieser Gleichung sind x=2 oder x=-8.

Im Video zusammengefasst:

[/accordion]

[/accordiongroup]

Aufgaben:

1.) \( x² + 10x + 24 = 0\)

[accordiongroup id=“890″][accordion group=“890″ title=“Lösung mit der pq-Formel“ active=““]

1.) p und q herausfinden:

p=10         q=24

2.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ p }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ p }{2 } \right)^{ 2 }-q } \)  

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ 10 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ 10 }{2 } \right)^{ 2 }-24 } \)  

\(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ ( 5)^{ 2 }-24 } \)

 \(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ 25-24 } \)

 \(x_{ 1/2 }=-5\pm\sqrt{ 1 } \)

 \(x_{ 1 }=-5+1=-4 \)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=-5-1=-6 \)

[/accordion][accordion group=“890″ title=“Lösung mit der Mitternachtsformel“ active=““]

1.) a, b, c herausfinden:

a=1        b=10       c=24

2.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -10\pm\sqrt{ 10^{ 2 }-4*(1)*(24) } }{ 2*(1) } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -10\pm\sqrt{ 100-4*(24) } }{ 2 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -10\pm\sqrt{ 100-96 } }{ 2 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -10\pm\sqrt{ 4 } }{ 2 }\)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -10\pm2 }{ 2 }\)

\(x_{ 1 }=\frac{ -10-2 }{ 2 }=-6 \)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=\frac{ -10+2 }{ 2 }=-4 \)

[/accordion][/accordiongroup]

2.) \(5x² – 36x + 55 = 0\)

[accordiongroup id=“782″][accordion group=“782″ title=“Lösung mit der pq-Formel“ active=““]

1.) Gleichung normieren:

\(5x² – 36x + 55 = 0\)                 \( | \ :5 \)

\(x² – 7.2x + 11 = 0\)  

2.) p und q herausfinden:

p=-7.2            q=11

3.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=-\frac{ -7.2 }{ 2 }\pm\sqrt{ \left( \frac{ -7.2 }{2 } \right)^{ 2 }-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ (-3.6)^{ 2 }-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ 12.96-11 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm\sqrt{ 1.96 } \)  

\(x_{ 1/2 }=3.6\pm1.4 \)  

\(x_{ 1 }=3.6+1.4=5\)       \(\vee\)       \(x_{ 2 }=3.6-1.4=2.2\)

[/accordion][accordion group=“782″ title=“Mitternachtsformel“ active=““]

1.) a,b,c herausfinden:

a=5       b=-36        c=55

2.) Formel anwenden:

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -b\pm\sqrt{ b^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ -(-36)\pm\sqrt{ (-36)^{ 2 }-4*(5)*(55) } }{ 2*(5) } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ 36\pm\sqrt{ 1296-20*(55) } }{ 10 } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ 36\pm\sqrt{ 1296-1100 } }{ 10 } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ 36\pm\sqrt{ 196 } }{ 10 } \)

\(x_{ 1/2 }=\frac{ 36\pm14 }{ 10 } \)

\(x_{ 1 }=\frac{ 36+14 }{ 10 }=5\)       \(\vee\)       \(\frac{ 36-14 }{ 10 }=2.2\)

[/accordion][/accordiongroup]